Обратная связь
×

Обратная связь

Парадокс Монти Холла

    23 сентября 2011 в 09:47
  • 10,2
  • 14239
  • 17
  • 10,2
  • 14239
  • 17

Вы смотрели фильм «Двадцать одно»? Там про студентов-гениев, использующих теорию вероятности для зарабатывания денег. Больших денег. В казино. Ну, теперь вспомнили?

Конечно, фильм слабоват и с трудом тянет на троечку. Но вот задача из фильма – просто шикарна!

  010454.jpg

В фильме есть эпизод, когда преподаватель математики (его играет Кевин Спейси) предлагает аудитории решить «задачу со звездочкой». За точность цитат не ручаюсь.

— Представьте, что вы – участники телевикторины, а я – ведущий, — обращается он к студентам. – Перед вами три доски, за одной из которых спрятан автомобиль, а за двумя другими самокаты. Я предлагаю вам выбрать любую из трех досок и угадать, где спрятан автомобиль. Допустим, вы выбираете доску №1. Но я открываю доску №3, и вы видите, что за ней спрятан самокат. А теперь внимание! Я спрашиваю у вас, не желаете ли вы изменить свое первоначальное решение и вместо доски №1 выбрать доску №2?

Тут из аудитории тянет руку наш главный герой-ботаник, который любит маму и мечтает поступить по гранту в Гарвард: «Я меняю первую доску на вторую!»

Преподаватель хитро улыбается и открывает вторую доску, за которой и находится автомобиль, и спрашивает: «Почему вы изменили свое решение?» Студент: «Потому что это увеличивает мои шансы на выигрыш автомобиля в два раза! Это принцип замены переменной». Преподаватель: «Вы – гений! А это слово, которым я не разбрасываюсь…»

Из кинотеатра я вышел озадаченным. В институте я не любил спецпредметы, но обожал общеобразовательную философию и вышмат, именно поэтому и отучился на плохого бухгалтера.

Задачу я не понял. Более того, ее решение мне показалось крайне сомнительным! Мне не давали покоя фразы «увеличивает шансы в два раза» и «принцип замены переменной». Что это за загадочный принцип такой в теории вероятности?

При решении задачи из фильма я рассуждал следующим образом (позже выяснил, что также кондово рассуждают 97% всех нормальных людей). Вероятность угадать доску, за которой спрятан автомобиль — 1/3. Далее мы предполагаем, что авто находится за доской №1. Тут ведущий открывает доску №3, за которой оказывается самокат. У нас остается всего две доски, за одной из которых авто. Вероятность того, что мы угадаем эту доску 1/2, так как доски всего две. Тогда для чего нам надо менять свое первоначальное решение с доски №1 на доску №2?! Ведь это не дает нам никаких преимуществ! Но в фильме почему-то произносится загадочная фраза: «Это увеличивает шансы в два раза». Почему увеличивает? Было непонятно.

Не найдя путного решения я успокоился и решил, что задача бредовая, и по задумке авторов фильма была выдумана лишь для того, чтобы показать зрителям, какой крутой и умный главный герой. Однако в тех же оскароносных «Играх разума» довольно доходчиво объясняется, за что математик-шизофреник Джон Нэш (персонаж Рассела Кроу) получает Нобелевскую премию. Да и к тому же теорию Нэша проходят на первом курсе во всех экономических университетах. С фильмом «Двадцать одно» вышло не так, и это меня коробило.

Спустя пару лет я узнал о парадоксе Монти Холла, а вслед за этим вспомнил позабытую задачку из фильма. Оказалось вся суть в том, что своим первоначальным выбором мы делим три доски на… две части! Одну выбранную и две невыбранные. Таким образом, вероятности между ними распределяются как 1/3 и 2/3 соответственно. Это и есть наши шансы на победу. Ведущий, открывая одну из двух невыбранных нами досок, показывает, что за ней спрятан самокат. Шансы 2/3 никуда не испаряются, а сосредотачиваются на одной из невыбранных досок. Следовательно, смена выбранной доски изменит вероятность выбора автомобиля с 1/3 до 2/3, то есть ровно в два раза! Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации подавляющим большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Кстати, действенность задачи легко проверить с помощью обычных карт. Предложите партнеру угадать, за какой из трех перевернутых карт спрятан туз (за двумя другими пусть будут короли). При долгосрочной серии экспериментов, например, тридцати, так и получится, что при смене выбора ваш партнер угадает карту с тузом в среднем двадцать раз против десяти, то есть его шансы и в самом деле будут повышены в два раза.

 

Теги: математика , кино

17 комментариев

722 AbatNagmet
23 сентября 2011, 09:47